这是一个非常好的物理学和几何学问题。
影子移动的速度和方向，本质上是一个投影运动学问题。我们可以分情况讨论，并用数学关系来描述。
一、核心几何模型
考虑一个点光源、一个不透明物体（可简化为一个点或一个有尺寸的物体上的特定点）、一个接收屏（地面或墙面）。
- 光源位置：( L )
- 物体上某点：( O )（为了简单，常取物体离屏最近的点或尖端，例如杆的顶端）
- 该点在屏上的影子：( S )
- 屏所在平面：一般设为 ( z = 0 )（假设光源和物体在 ( z > 0 ) 侧）
当光源、物体、屏三者的几何关系确定时，影子的位置 ( S ) 由 光的直线传播 和 相似三角形 决定。
1. 简单情形（点光源、点物体、平面屏）
假设屏是 ( z=0 ) 平面，光源 ( L = (0, 0, h_L) )，物体点 ( O = (x_O, y_O, h_O) )，其中 ( h_O > 0 )，且 ( h_L > h_O )（光源在物体上方常见）。
从 ( L ) 到 ( O ) 的连线延长到 ( z=0 ) 平面，交点 ( S ) 由参数方程求得：
光线从 ( L ) 到 ( O ) 的参数形式：
[
\mathbf{r}(t) = L + t(O - L), \quad t>1 \text{ 延长线}
]
要求 ( z=0 )：
[
h_L + t(h_O - h_L) = 0
]
[
t = \frac{h_L}{h_L - h_O}
]
所以：
[
S = L + \frac{h_L}{h_L - h_O}(O - L)
]
即：
[
S_x = 0 + \frac{h_L}{h_L - h_O}(x_O - 0) = \frac{h_L}{h_L - h_O} x_O
]
[
S_y = \frac{h_L}{h_L - h_O} y_O
]
影子的速度
对时间 ( t ) 求导：
[
\mathbf{v}_S = \frac{h_L}{h_L - h_O} \mathbf{v}_O
- \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{h_L}{h_L - h_O} \right) \right] \mathbf{r}_O(t)
]
其中 ( \mathbf{v}_O = (\dot{x}_O, \dot{y}_O, \dot{h}_O) )，但注意 ( S ) 的坐标只与 ( O ) 的 ( x, y ) 以及 ( h_O, h_L ) 有关。若 ( h_L ) 与 ( h_O ) 随时间变化，则式子更复杂。
如果 ( h_L ) 和 ( h_O ) 固定（即光源和物体高度不变，只水平移动），则：
[
\mathbf{v}_S = \frac{h_L}{h_L - h_O} (\dot{x}_O, \dot{y}_O)
]
结论 1：在光源与物体高度固定的情况下，影子在屏上的水平速度是物体水平速度的 ( \frac{h_L}{h_L - h_O} ) 倍，且方向相同。
这个因子 ( K = \frac{h_L}{h_L - h_O} > 1 )（若 ( h_L > h_O )），所以影子移动速度大于物体移动速度。如果光源低于物体（例如台灯照在悬空的物体上，向上投影到天花板），则 ( h_L < h_O )，( K < 0 )（影子运动方向与物体运动方向相反）。
方向关系
影子的移动方向在水平面投影上与物体移动方向相同（当 ( K>0 )），即：
光源比物体高时，影子与物体同向运动；
光源比物体低时（投影在上方屏），影子与物体反向运动。
2. 有尺寸的物体
对有尺寸物体，一般取顶点或边缘点分析影子的运动。每个点的影子速度公式同上，但整个影子的形变、速度分布不均匀。
影子边缘移动速度可能非常快（尤其在光源很低时，掠射角小，影子被拉长，物体边缘的微小移动会造成影子边缘的跳跃）。
3. 光源运动的情况
假设物体 ( O ) 静止，光源 ( L ) 运动。
由 ( S = L + \frac{h_L}{h_L - h_O}(O - L) )，记 ( \lambda = \frac{h_L}{h_L - h_O} )。
对时间求导（假设高度 ( h_L, h_O ) 固定）：
[
\mathbf{v}_S = \mathbf{v}_L + \lambda( \mathbf{v}_O - \mathbf{v}_L ) + (O - L) \dot{\lambda}
]
若 ( h_L, h_O ) 固定，则 ( \lambda ) 常数，且 ( \mathbf{v}_O = 0 )：
[
\mathbf{v}_S = \mathbf{v}_L + \lambda(0 - \mathbf{v}_L) = (1 - \lambda) \mathbf{v}_L
]
代入 ( \lambda = \frac{h_L}{h_L - h_O} )：
[
1 - \lambda = 1 - \frac{h_L}{h_L - h_O} = \frac{h_L - h_O - h_L}{h_L - h_O} = \frac{-h_O}{h_L - h_O}
]
所以：
[
\mathbf{v}_S = -\frac{h_O}{h_L - h_O} \mathbf{v}_L
]
结论 2：物体静止、光源运动时，影子速度与光源速度方向相反（当 ( h_L > h_O ) 时），大小是光源速度的 ( \frac{h_O}{h_L - h_O} ) 倍。
4. 光源为平行光（如太阳光）
此时相当于 ( h_L \to \infty )，从之前的公式 ( K = \frac{h_L}{h_L - h_O} \to 1 )，所以：
[
\mathbf{v}_S = \mathbf{v}_O^{\text{水平}}
]
即影子在水平面的移动速度等于物体在垂直光照方向平面内的速度分量（严格说是垂直于光线的平面上物体速度的投影）。对于平行光，影子形状不变，只平移，速度与物体速度相等（方向相同）。
如果是斜平行光，设单位光线方向向量为 ( \hat{\mathbf{n}} )，屏为平面，则影子位置 ( S = O + \mu \hat{\mathbf{n}} ) 由屏的方程决定，对时间求导可得关系。
5. 综合运动（光源和物体都动）
由 ( S = L + \lambda (O - L) )，若 ( h_L, h_O ) 不变，则：
[
\mathbf{v}_S = (1-\lambda) \mathbf{v}_L + \lambda \mathbf{v}_O
]
其中：
[
\lambda = \frac{h_L}{h_L - h_O},\quad 1-\lambda = -\frac{h_O}{h_L - h_O}
]
所以：
[
\mathbf{v}_S = \frac{h_L}{h_L - h_O} \mathbf{v}_O - \frac{h_O}{h_L - h_O} \mathbf{v}_L
]
这是一个线性组合。影子的运动是光源运动和物体运动的加权合成，权重由高度比决定。
二、数学关系总结
在点光源、固定高度、平面屏的情况下：
[
\mathbf{v}_S = \frac{h_L}{h_L - h_O} \mathbf{v}_O^{\text{水平}} - \frac{h_O}{h_L - h_O} \mathbf{v}_L^{\text{水平}}
]
特殊情形：
只物体动（(\mathbf{v}_L=0)）：
[
\mathbf{v}_S = \frac{h_L}{h_L - h_O} \mathbf{v}_O
]
影子速度放大 (K)倍，同向（若 (h_L>h_O)）。
只光源动（(\mathbf{v}_O=0)）：
[
\mathbf{v}_S = -\frac{h_O}{h_L - h_O} \mathbf{v}_L
]
影子速度与光源速度方向相反（若 (h_L>h_O)）。
平行光（(h_L \to \infty)）：
[
\mathbf{v}_S = \mathbf{v}_O^{\text{垂直投影分量}}
]
（通常等于物体在屏平面内的速度分量，具体依赖于光线方向与屏的夹角）
三、方向定性总结
- 光源比物体高时（常见地面影子）：
物体向右移动 → 影子向右移动；
光源向右移动 → 影子向左移动。
- 光源比物体低时（天花板上影子）：
物体向右移动 → 影子向左移动；
光源向右移动 → 影子向右移动。
影子运动方向与物体或光源运动方向是平行还是相反，取决于高度关系和谁在动。
